4.7. 🤔$\exp(-x)$ と $\mathrm{e}^{-x}$ って¶

4.7.1. 事前に必要な知識¶

高校数学だいぶ忘れているマン。

4.7.1.1. 指数関数 (exponential function)¶

【指数関数で覚えておくべき３つのこと】

★指数関数の定義は $y=a^x$

★実数となる $a$ のことを底と呼ぶ

★指数関数では基本的に $a \neq 1$ かつ $a > 0$ として考える

https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/shisuukansuu.html

$a$ が定数なのが特徴で、逆に指数が定数となっているもの ($y=x^a$) は冪関数(ﾍﾞｷｶﾝｽｳ)という。

4.7.1.2. 対数¶

$y=a^x$ の $x$ を求めようとしたとき、$a$ を何乗したら $y$ になるのか、という意味で、数学的には $x$ を「対数」と呼び、$\log$ で表す。

\[x = \log_a y\]

指数関数を変形する感じ。

4.7.2. 自然対数¶

底をネイピア数 $\exp$ とした対数のこと。

自然数を使った対数ではなく、数学的に自然なこと、らしい。他の対数と区別するため、$\ln$で表すことが多い。

4.7.2.1. 極限¶

数列 $\{a_{n}\}$ において、項の番号 $n$ が限りなく大きくなっていくとき、$a_{n}$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近づいていくならば、数列 $\{a_{n}\}$ は $\alpha$ に収束（しゅうそく）するといい、

\[\lim _{n\to \infty }a_{n}=\alpha\]

または簡単に

\[a_{n}\to \alpha \ (n\to \infty )\]

とかく。また、$ :nbsphinx-math:`alpha`$ をこの数列の極限値（きょくげんち）という。 https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6III/%E6%A5%B5%E9%99%90

4.7.3. ネイピア数¶

$\exp$ とか $\mathrm{e}$ で表すものは ネイピア数 (Napier’s constant) という。$\pi$ と同じ無限に続く「無理数」であり、多項式で$0$を満たすものがないことから「超越数」の1つでもある。(無理数、超越数の話はひとまずおいておく)

またネイピア数は「自然対数の底」と呼ばれる数字で、数学的におもしろい性質をもつ定数である。

4.7.3.1. 定義¶

\[\mathrm{e} = \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n\]

$(1 + \frac{1}{n})^n$ は大きくなると、 $\mathrm{e}$ の値に収束することを意味している。

4.7.3.1.1. 例¶

なんのこっちゃなので、$ \mathrm{e} = \lim_{x \to `:nbsphinx-math:infty`} \left`( 1 + :nbsphinx-math:frac{1}{n}` \right)^n $ を具体的に当てはめていこう。

※ 説明の参考: https://qiita.com/yaju/items/093854baa667a40f9e04

[1]:

def Exp(n):
    return (1.0 + 1.0 / n) ** n

[2]:

Exp(1)

[2]:

2.0

[3]:

Exp(2)

[3]:

2.25

[4]:

Exp(3)

[4]:

2.37037037037037

[5]:

Exp(12)

[5]:

2.613035290224676

[6]:

Exp(365)

[6]:

2.7145674820219727

[7]:

Exp(3153600)

[7]:

2.718281398200237

と、$e=2.71828182845904⋯$に近づくのがわかる。

4.7. 🤔\(\exp(-x)\) と \(\mathrm{e}^{-x}\) って¶