{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 🤔行列とは\n",
    "\n",
    "3DCGでもさんざんお世話になっているので、復習\n",
    "\n",
    "> 数学の線型代数学周辺分野における行列（ぎょうれつ、英: matrix）は、数や記号や式などを縦と横に矩形状に配列したものである。横に並んだ一筋を行、縦に並んだ一筋を列と呼ぶ。例えば、下記のような行列\n",
    "> \n",
    "> $$\\begin{bmatrix}1&9&-13\\\\20&5&-6\\end{bmatrix}$$\n",
    "> \n",
    "> は2つの行と3つの列によって構成されているため、(2,3)型または2×3型の行列と呼ばれる。\n",
    "> \n",
    "> 書き並べられた要素は行列の成分と呼ばれ、行列の第 $i$ 行目、$j$ 列目の成分を特に行列の $(i, j)$ 成分と言う。行列の $(i, j)$ 成分はふつう $a_{ij}$ のように二つの添字を単に横並びに書くが、誤解を避けるために添字の間にコンマを入れることもある。また略式的に、行列 $A$ の $(i, j)$ 成分を指定するのに $A_{ij}$ という記法を用いることもある。\n",
    "> \n",
    "> [行列 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97)\n",
    "\n",
    "ぶっちゃけ、数字を矩形に並べただけのもの(ﾃｷﾄｰ)。"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## どっちが行で、どっちが列なのさ\n",
    "\n",
    "よく混乱する。Excelとか。\n",
    "\n",
    "> 文字送りの方向（横）の並びを行 (英: row) といい、行送りの方向（縦）の並びを列 (英: column) と呼ぶ\n",
    ">\n",
    "> [行列 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97)\n",
    "\n",
    "漢字で覚えるとかもありますが、[呪いの画像](https://twitter.com/motcho_tw/status/966992405437194241?s=20) もあるのでやめたほうがいい。"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## $m \\times n$ 行列\n",
    "\n",
    "> 行列に含まれる行の数が $m$, 列の数が $n$ である時に、その行列を $m$ 行 $n$ 列行列や $m \\times n$ 行列、$mn$ 行列などと呼ぶ。行列を構成する行の数と列の数の対を型 (英: type) あるいはサイズという。したがって $m$ 行 $n$ 列行列のことを $(m, n)$ 型行列などと呼ぶこともある。$K$ 上の $m \\times n$ 行列の全体は $K^{m \\times n}$, $K^{m,n}$ や $Mat(m, n; K)$, $M_{m \\times n}(K)$ などで表される。\n",
    ">\n",
    "> [行列 - Wikipedia](https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 乗算\n",
    "\n",
    "### スカラー倍\n",
    "\n",
    "行列とスカラー倍の乗算は $\\lambda$ (ラムダ)で表すらしい。 https://oguemon.com/study/linear-algebra/matrix-op/\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "    \\lambda A = [\\lambda a_{ij}]\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "### 行列同士\n",
    "\n",
    "行列同士の乗算はちょっと複雑。納得するためにちょっとWikibooksから引用しよう。\n",
    "\n",
    "> 1次方程式\n",
    "> \n",
    "> $$\n",
    "    \\begin{cases}\n",
    "        x + 2y = 1 \\\\\n",
    "        2x + 3y = 2\n",
    "    \\end{cases}\n",
    "$$\n",
    "> を、次のような記法で現してみる\n",
    "> $$\n",
    "    \\begin{pmatrix}\n",
    "        1 & 2 \\\\\n",
    "        2 & 3\n",
    "    \\end{pmatrix}\n",
    "    \\begin{pmatrix}\n",
    "        x \\\\\n",
    "        y\n",
    "    \\end{pmatrix}\n",
    "    =\n",
    "    \\begin{pmatrix}\n",
    "    1 \\\\\n",
    "    2\n",
    "    \\end{pmatrix}\n",
    "$$\n",
    "> これから勉強するのは、連立方程式とベクトルとの関係であり、それを考察しやすくするために、あらたに行列（ぎょうれつ）という量を導入する。\n",
    "> https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E6%95%B0%E5%AD%A6C/%E8%A1%8C%E5%88%97\n",
    "\n",
    "まず、この連立1次方程式の $x$, $y$ を解いてみる。\n",
    "\n",
    "$x + 2y = 1$ を式変形して…\n",
    "$$\n",
    "    x = 1 - 2y\n",
    "$$\n",
    "この$x$を$2x + 3y = 2$に代入すると、\n",
    "$$\n",
    "    2(1 - 2y) + 3y = 2\n",
    "$$\n",
    "ここから、$2 \\times 1 - 2 \\times 2y + 3y = 2$、$2 - 4y + 3y = 2$、$2 - y = 2$となり、最終的に$y$は\n",
    "$$\n",
    "    y = 0\n",
    "$$\n",
    "となる。後は$x = 1 - 2y$に$y = 0$を代入して、$x = 1 - 2 \\times 0$、\n",
    "$$\n",
    "    x = 1\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "では、行列に代入してみよう。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "    \\begin{pmatrix}\n",
    "        1 & 2 \\\\\n",
    "        2 & 3\n",
    "    \\end{pmatrix}\n",
    "    \\begin{pmatrix}\n",
    "        1 \\\\\n",
    "        0\n",
    "    \\end{pmatrix}\n",
    "    =\n",
    "    \\begin{pmatrix}\n",
    "    1 \\\\\n",
    "    2\n",
    "    \\end{pmatrix}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "この式を成り立たせるために、行列同士の積はどう計算すればよいだろうか？\n",
    "\n",
    "一旦、$2$とか$3$とかになっている数字(プログラムでいえば、マジックナンバーだね！)を変数にしてみよう。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "    \\begin{cases}\n",
    "        ax + by = p \\\\\n",
    "        cx + dy = q\n",
    "    \\end{cases}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "    \\begin{pmatrix}\n",
    "        a & b \\\\\n",
    "        c & d\n",
    "    \\end{pmatrix}\n",
    "    \\begin{pmatrix}\n",
    "        x \\\\\n",
    "        y\n",
    "    \\end{pmatrix}\n",
    "    =\n",
    "    \\begin{pmatrix}\n",
    "    p \\\\\n",
    "    q\n",
    "    \\end{pmatrix}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "行列式にある$p$, $q$を置き換えてみよう。\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "    \\begin{pmatrix}\n",
    "        a & b \\\\\n",
    "        c & d\n",
    "    \\end{pmatrix}\n",
    "    \\begin{pmatrix}\n",
    "        x \\\\\n",
    "        y\n",
    "    \\end{pmatrix}\n",
    "    =\n",
    "    \\begin{pmatrix}\n",
    "    ax + by \\\\\n",
    "    cx + dy\n",
    "    \\end{pmatrix}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "行列の積っぽいものが出てきた。いや、「ぽいもの」ではなく、これが行列の積である。"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 加算・減算\n",
    "\n",
    "あんまりしない気がする🤔\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "    A = \\left(\n",
    "    \\begin{array}{ccc}\n",
    "      a_1 & a_2 \\\\\n",
    "      a_3 & a_4\n",
    "    \\end{array}\n",
    "  \\right) = [a_{ij}]\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "    B = \\left(\n",
    "    \\begin{array}{ccc}\n",
    "      b_1 & b_2 \\\\\n",
    "      b_3 & b_4\n",
    "    \\end{array}\n",
    "  \\right) = [b_{ij}]\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "    A + B = \\left|\n",
    "    \\begin{array}{ccc}\n",
    "      a_1 + b_1 & a_2 + b_2 \\\\\n",
    "      a_3 + b_3 & a_4 + b_4\n",
    "    \\end{array}\n",
    "  \\right| = [a_{ij} + b_{ij}]\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "行数、列数が同じもの同士でなければ加算、減算はできない。"
   ]
  }
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 "metadata": {
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   "display_name": "Python 3",
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